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미적분

3. 미분의 연산법

K JI 2023. 5. 4. 15:11
  1. 덧셈법칙
    1) f(x)=v(x)+u(x) 라고 한다면  Δf(x)Δx=Δv(x)Δx+Δu(x)Δx 이다.

    (1) Δf(x)Δx=f(x+Δx)f(x)Δx=v(x+Δx)+u(x+Δx)v(x)+U(x)Δx

    (2) 마지막 항을 정리하면 v(x+Δx)v(x)Δx+u(x+Δx)u(x)Δx=Δv(x)Δx+Δu(x)Δx

    (3) 다시 말해, 각각의 미분의 합으로 쪼갤 수 있다

  2. 곱셈 법칙
    1) f(x)=v(x)u(x) 라면 Δf(x)Δx=u(x)v(x)Δx+v(x)u(x)Δx 이다.

    (1) Δf(x)Δx=Δv(x)Δu(x)Δx

    (2) 다시 말해 v(x+Δx)u(x+Δx)u(x)v(x) =u(x)[v(x+Δx)v(x)]+v(x)[u(x+Δx)u(x)]

    (3) 중괄호 안을 정리하여 식을 다시 쓰면 u(x)v(x)Δx+v(x)u(x)Δx

  3. 제곱 미분 법칙
    1) f(x)=xn 이라면 f(x)Δx=nxn1Δf(x)Δx
    2) 몇 가지 예시를 들자면

    (1) f(x)=x3 이라면
    -. x3=xxx

    -. f(x)Δx=xxx+xxx+xxx = 3xx(x+x+x)=3x2x

    -. x=xΔx=1 이므로, 결국 3x2가 된다

    (2) f(x)=sin3(x) 라면

    -. sin3(x)=sin(x)sin(x)sin(x)

    -. f(x)Δx = sin(x)Δxsin(x)sin(x)+sin(x)sin(x)Δxsin(x)+sin(x)sin(x)sin(x)Δx

    -. sin(x)Δx = cos(x) 이므로,
    cos(x)sin(x)sin(x)+sin(x)cos(x)sin(x)+sin(x)sin(x)cos(x)

    (3) 위 식을 정리하면 

    -. sin(x)sin(x)(cos(x)+cos(x)+cos(x)) = sin2(x)3cos(x)
    =3sin2(x)cos(x)

    -. 이 때, 3sin2(x)nxn1로, cos(x)f(x)Δx로 볼 수 있다


  4. 역수 미분법칙
    1) f(x)=1v 라고 한다면 f(x)ΔX=v(x)v2

    (1)  v1v 일때 () v1v1Δx=0

    (2)  2에서 도출한 곱셈법칙에 따라 v1v1Δx 를 정리하면
    -. 1vΔxv+vΔx1v=0

    (3) 첫 번재 항을 좌변으로 넘기고, 1v를 양변에 곱하면
    -. 1vΔX=vΔx=v(x)v2

    (4) 다시 말해, 함수의 도함수를 함수의 제곱으로 나눈 형태가 된다.

  5. 분수미분법칙
    1) f(x)=v(x)u(x) 이라면 f(x)Δx=v(x)u(x)v(x)u(x)u(x)2

    (1) 곱셈 법칙에 따라 f(x)=v(x)1u(x)v(x)1u(x)+v(x)1u(x)

    (2) 역수 법칙에 따라 1u(x)=u(x)u(x)2 이므로, 위 식을 다시 정리하면 
     v(x)1u(x)+v(x)1u(x)=v(x)u(x)u(x)2+v(x)1u(x)

    (3) 위 식을 정리하면
    v(x)u(x)u(x)2+v(x)u(x)u(x)2=v(x)u(x)v(x)u(x)u(x)2

    (4) 즉, 다시말해 번갈아가며 미분한 함수항의 차를 분모쪽의 함수 제곱으로 나눈 꼴이다

  6. 거듭제곱 미분 법칙
    1) f(x)=v(x)2 일때

    (1) v(x)2=u(x)u(x) 이고, 이를 미분하면 u(x)u(x)+u(x)u(x)=2u(x)u(x)

    (2) 이 때, 뒤에 따라붙은 u(x)Chain Rule에 의해 생성된 항이라고 한다

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