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문과생 네버랜드의 데이터 창고
3. 미분의 연산법 본문
- 덧셈법칙
1) f(x)=v(x)+u(x) 라고 한다면 Δf(x)Δx=Δv(x)Δx+Δu(x)Δx 이다.
(1) Δf(x)Δx=f(x+Δx)−f(x)Δx=v(x+Δx)+u(x+Δx)−v(x)+U(x)Δx
(2) 마지막 항을 정리하면 v(x+Δx)−v(x)Δx+u(x+Δx)−u(x)Δx=Δv(x)Δx+Δu(x)Δx
(3) 다시 말해, 각각의 미분의 합으로 쪼갤 수 있다 - 곱셈 법칙
1) f(x)=v(x)⋅u(x) 라면 Δf(x)Δx=u(x)⋅v(x)Δx+v(x)⋅u(x)Δx 이다.
(1) Δf(x)Δx=Δv(x)⋅Δu(x)Δx
(2) 다시 말해 v(x+Δx)⋅u(x+Δx)−u(x)⋅v(x) =u(x)⋅[v(x+Δx)−v(x)]+v(x)⋅[u(x+Δx)−u(x)]
(3) 중괄호 안을 정리하여 식을 다시 쓰면 u(x)⋅v(x)Δx+v(x)⋅u(x)Δx - 제곱 미분 법칙
1) f(x)=xn 이라면 f(x)Δx=nxn−1⋅Δf(x)Δx
2) 몇 가지 예시를 들자면
(1) f(x)=x3 이라면
-. x3=x⋅x⋅x
-. f(x)Δx=x′⋅x⋅x+x⋅x′⋅x+x⋅x⋅x′ = 3⋅x⋅x⋅(x′+x′+x′)=3x2x′
-. x′=xΔx=1 이므로, 결국 3x2가 된다
(2) f(x)=sin3(x) 라면
-. sin3(x)=sin(x)⋅sin(x)⋅sin(x)
-. f(x)Δx = sin(x)Δx⋅sin(x)⋅sin(x)+sin(x)⋅sin(x)Δx⋅sin(x)+sin(x)⋅sin(x)⋅sin(x)Δx
-. sin(x)Δx = cos(x) 이므로,
cos(x)⋅sin(x)⋅sin(x)+sin(x)⋅cos(x)⋅sin(x)+sin(x)⋅sin(x)⋅cos(x)
(3) 위 식을 정리하면
-. sin(x)⋅sin(x)(cos(x)+cos(x)+cos(x)) = sin2(x)⋅3cos(x)
=3sin2(x)⋅cos(x)
-. 이 때, 3sin2(x)는 nxn−1로, cos(x)는 f(x)Δx로 볼 수 있다 - 역수 미분법칙
1) f(x)=1v 라고 한다면 f(x)ΔX=v′(x)v2
(1) v⋅1v 일때 (즉함수의항등원은역함수이므로) v⋅1v−1Δx=0
(2) 2에서 도출한 곱셈법칙에 따라 v⋅1v−1Δx 를 정리하면
-. 1vΔx⋅v+vΔx⋅1v=0
(3) 첫 번재 항을 좌변으로 넘기고, 1v를 양변에 곱하면
-. 1vΔX=−vΔx=v′(x)v2
(4) 다시 말해, 함수의 도함수를 함수의 제곱으로 나눈 형태가 된다. - 분수미분법칙
1) f(x)=v(x)u(x) 이라면 f(x)Δx=v′(x)⋅u(x)−v(x)⋅u′(x)u(x)2
(1) 곱셈 법칙에 따라 f(x)=v(x)⋅1u(x)→v(x)⋅1u′(x)+v′(x)⋅1u(x)
(2) 역수 법칙에 따라 1u′(x)=−u′(x)u(x)2 이므로, 위 식을 다시 정리하면
v(x)⋅1u′(x)+v′(x)⋅1u(x)=v(x)⋅−u′(x)u(x)2+v′(x)⋅1u(x)
(3) 위 식을 정리하면
−v(x)⋅u′(x)u(x)2+v′(x)⋅u(x)u(x)2=v′(x)⋅u(x)−v(x)⋅u′(x)u(x)2
(4) 즉, 다시말해 번갈아가며 미분한 함수항의 차를 분모쪽의 함수 제곱으로 나눈 꼴이다 - 거듭제곱 미분 법칙
1) f(x)=v(x)2 일때
(1) v(x)2=u(x)⋅u(x) 이고, 이를 미분하면 u′(x)⋅u(x)+u(x)⋅u′(x)=2u(x)⋅u′(x)
(2) 이 때, 뒤에 따라붙은 u′(x)를 Chain Rule에 의해 생성된 항이라고 한다