4. 선형 근사

1.  선형 근사?
   1) 함수의 접선을 찾은 후, 접선을 따르는 근삿값을 기반으로 실제값 y를 추정하는 것
   
   2) 접선 방정식 $Y = f(\alpha) + f'(\alpha)(x-\alpha)$를 이용한다.
   
   ${(1)}$ 이 때, $f(x + \Delta x)$의 접선 방정식을 이용한 근사값은 $Y = f(x) + f'(x)\Delta x$ 가 된다.
   
   $({2})$ 왜냐하면, $\alpha$가 x 근처에서 매우 미소하게 움직인 무언가라면, 이 자체만으로도 $(x-\alpha) = \Delta x$ 로 볼 수 있기 때문이다.
   
   $({3})$ 방법론은 구체적으로 아래와 같다

   1	주어진 조건하에 구하려는 값을 함수로 모델링
   2	(x = 0 근처에서 정의된) 함수를 접선의 방정식 $Y = f(\alpha) + f'(\alpha)(x-\alpha)$ 이용하여 근사식으로 근사
   3	$\alpha$를 정의하여 근삿값 도출

2.  예시로 확인하는 선형 근사 공식
   1) $(1.01)^3$의 근삿값을 찾아라
   
   ${(1)}$ 함수 모델링
   -. 위 값은 함수 $(x+1)^{n}$ 으로 모델링 가능
   
   $({2})$ 근사식 도출
   -. $f'(x)$를 구하면 $n \cdot (x+1)^{n-1}$ 이고
   -. $x = 0$ 에서 이 값을 근사하는 근사식을 세우면 $f(x) \approx f(0) + f'(0)(0+\alpha) = 1 + n\alpha$
   
   $({3)}$ $alpha$ 정의 후 근사값 도출
   -. $\alpha = 0.01$로 놓으면, 그 근삿값은 $1 + 3 \cdot 0.01 = 1.03$
   -. 위 값은 실제값 1.30301와 매우 근사한 값을 보여줌
   
   2) 이 때, 위 근사값의 오차를 구하라
   $({1})$  오차항 $o(\alpha)$는 다음과 같이 계산이 가능하다
   
   ${(2})$ $o((1+\Delta x)^{n})$ = $ 1 + n \cdot \Delta x + \frac{n(n-1)}{2 \cdot 1}(\Delta x)^{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1}(\Delta x)^{3} ...$ 
   
   -. 이 때, 우변은 좌변$o((1+\Delta x)^{n})$을 이항공식에 따라 쭉 늘어뜨렸을때 나오는 식이다
   ${(3})$ 이 때, $ 1 + n \cdot \Delta x$ 까지는 우리가 위에서 구한 근사식이고, 그 이후에 등장하는 항들은 우리가 구하지 않은 식이므로, 정의에 따라 이 2차식 이상의 항들이 바로 오차가 된다.