13-1 적분의 기본 성질

1. 적분은 내부 구간으로 쪼개질 수 있다.
   1) 다시 말해, b라는 점이 a - c 구간 내에 존재하고, 양 구간을 분할 가능하면
   $\int_{a}^{c} v(x)dx = \int_{a}^{b}v(x)dx + \int_{b}^{c}v(x)dx$ 이다.
   
   
2. 정확히 한 점에서의 적분은 0과 같다.
   1) $\int_{a}^{a}v(x)dx = F(x) - F(x) = 0$
   
   
3. 적분의 진행방향이 바뀌면 부호가 반대로 바뀐다.
   1) 즉 $\int_{a}^{b}v(x)dx = -\int_{a}^{b}v(x)dx$
   
   
4. 홀함수와 짝함수의 적분은 다르다
   1) 홀함수란 $v(-x) = -v(x)$인 함수를 말하며, 짝함수란 $v(-x) =v(x)$인 함수를 말한다.
   ${(1)}$ 홀함수의 예시로는 $x, x^{3}, x^{5}$를, 짝함수의 예시로는 $x^{2}, x^{4}$ 등을 들 수 있다.
   2) 다시말해 아래와 같다.
   $({1})$ 홀함수의 경우 : $\int_{-a}^{a}odd(x)dx = 0$
   ${(2)}$ 짝함수의 경우 : $\int_{-a}^{a}even(x)dx = 2 \int_{0}^{a}even(x)dx$
   -. 하한이 0으로 바뀌는것에 주의한다
   
   
5. $a<x<b$ 에서 $v(x) > 0$ 이면
   1) $\int_{a}^{b}v(x)dx > 0$
   
   
6. $a \leq b \leq b$ 에서 $L(x) < V(X) < U(X)$ 라고 한다면
   1) $\int_{a}^{b}L(X)dx < \int_{a}^{b}V(X)dx < \int_{a}^{b}U(X)dx$
   2) 즉, 원함수의 단조성은 적분함수에서도 유지된다.
   
   
7. 적분에 대한 평균값 정리
   1) $V(X)$가 연속이면 $V(X)$의 평균이 $V(c)$와 같아지는 $a < c < b$인 점 c가 존재한다. 

   직사각형을 해당 곡선의 가장 밑부분에서 시작하여 조금씩 위로 밀어 올리다보면, a < c < b 구간 내에서 직사각형의 면적과 곡선 아래의 면적이 같아지는 지점($\frac{1}{\sqrt{3}}$)이 나타난다.

   
   $({1)}$ 즉, $V(c) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} v(x)dx = 'v(x)의 평균값'$
   
   2) 위 정리는 아래와 같이 증명 가능하다
   ${(1)}$ 구간 a ~ b 사이에서 어떤 직사각형을 정의할 경우
   
   -. $V(c) \cdot (a - b)$의 넓이(투명 빨간색 직사각형)이
   -. $\int_{a}^{b}v(x)dx$의 넓이와(진한 빨간색 곡선 아래 부분)이 
   일치하는 점 c에서의 함수값 $v_{평균}$이 존재한다.
   
   ${(2)}$ 즉, $v(c)\cdot(a-b) = \int_{a}^{b}v(x)dx$에서
   $$v(c) = \frac{1}{a-b}\int_{a}^{b}v(x)dx = \frac{F(b) - F(a)}{a-b}$$
   -.  이는 도함수, 즉 '기울기'이며 평균 변화량이다