14. 적분의 테크닉 - 정적분과 부정적분, 치환적분, 부분적분

1. 정적분과 부정적분?
   
   1) 부정적분은 어떤 함수를 도함수로 하는 모든 함수(=역도함수)를 구하는 연산이다.
   
   ${(1)}$ 구간을 정의하지 않고 적분한다는 의미에서 '부(不)정적분'이라고 한다.
   
   ${(2)}$ 즉, 다음과 같이 정의할 수 있다.
   -. $F'(x) = f(x)$라고 할 때, (단, F'(x)는 x에 대한 F(x) 함수의 미분)
   -. $\int f(x)dx = F(x) + C$
   -. 위와 같은 관계로 정의되는 적분을 '부정적분'이라고 표현한다.
   
   2) 이와 대비되는 정적분은 넓이를 정의하기 위해 상한과 하한을 정의하여 '값'을 구하는 적분이다.
   
   ${(1)}$ 상한과 하한에서 상합 S(big S)와 하합 s(small s)가 정의되며
   -. 상합 S와 하합 S의 극한이 A로 점차 접근할 때, 이 A값이 바로 적분값이 된다.

   리만합으로 표현한 정적분. 새로운 지점(= 더 많은 직사각형)이 추가될수록 상한영역은 작아지고, 하한영역은 커지면서 '상한영역 / 하한영역의 차이'는 점차 작아지는 패턴을 확인할 수 있다.

   -. 이제, 점이 충분히 많이 추가되어 $\Delta x \rightarrow 0$이면 $상한 \rightarrow A$, $하한 \rightarrow A$이 성립되며,  상한 영역과 하한 영역의 차이는 0으로 수렴하게 된다. 이 때, A라는 극한값이 바로 적분값이다. 
   
   ${(2)}$ 정적분은 아래의 성질을 가지고 있다.
   -. 정적분을 수행할 때 하한과 상한이 그 극한값 A로 수렴하지 않을수도 있다
   $V(x) = \begin{cases}
   1 & \text{ if } x= 유리수 \\ 
   0 & \text{ if } x= 무리수 
   \end{cases}$ 인 함수라면 이 함수의 하합은 $s=0$, 상합은 $S = b-a(1\cdot \Delta x)$가 되어 아무리 극한을 취해도 좁혀지지 않는다.
   -. 계단함수는 불연속함수이지만 적분이 가능하다
   점프 직전 / 직후 순간의 넓이는 $\Delta x \rightarrow 0$일때 0으로 수렴하며, 점프 직전과 직후의 넓이를 각각 더하면 된다
   
   
2. 치환적분
   
   1) 미분의 연쇄법칙을 거꾸로 비틀어 적분을 보다 쉽게 만들어주는 테크닉
   
   2) $F(x) = \int f(x)dx$에서 $x=g(x)$로 치환한다면
   
   ${(1)}$ 이 적분값 F가 정확히 뭔지는 알 수 없지만, 일단은 $F(g(x))$ 꼴인건 확실하다(적분시에 내부 함수는 변화하지 않기 때문이다)
   
   ${(2)}$ 이 경우, $F(g(x))$의 도함수는 미분의 연쇄법칙에 따라 $f(g(x)) \cdot \frac{dg(x)}{dx}$ 꼴로 바뀐다.
   
   3) (1)과 (2)를 이용하여 다시 정리하면 
   
   ${(1)}$ $F(x) = \int f(x)dx $라는 역도함수와 도함수의 적분 관계가 성립될 때
   -. $x = g(x)$라 놓고 $F(g(x))$로 치환하면
   -. $$F(g(x)) = \int f(g(x)) \frac{dg}{dx} \cdot dx = \int f(g(x))dg$$
   
   ${(2)}$ 위의 관계에서 도출 가능한 $\frac{dg}{dx}dx = dg$ 혹은 $dx = \frac{1}{\frac{dg}{dx}}dg$ 라는 연산자를 이용하면 좀 더 수월한 치환적분이 가능하다(예제 참조) 
   
   4) 일반화된 치환적분 프로시져는 아래와 같다.
   

   1	-. $g(x)$를 선택한 후, $\frac{dg}{dx}$를 계산한다
   2	-. $f(g) \cdot \frac{dg}{dx} \cdot dx 혹은 f(g) \cdot dg$ 를 찾는다. -. 혹은 $dx = \frac{1}{\frac{dg}{dx}}dg$를 이용한다)
   3	-. $\int f(g)dg$를 적분하여 $F(g) + C$를 찾는다
   4	-. 역도함수 $F(g)$에 $g(x)$를 대입하여 최종적으로 정리한다.

   
   5) 예제로 보는 치환적분 
   
   1) $\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}dx$ 를 적분하라
   
   ${(1)}$ $x^{2} - 1 = g$ 로 치환하면(1번)
   -. $\frac{dg}{dx} = \frac{d(x^{2}-1)}{dx} = 2x$, 즉 $dx = \frac{1}{2x}dg$
   
   ${(2)}$ 치환된 g와 $dx = \frac{1}{2x}dg$ 이용하여 식을 다시 쓰면(2번, 3번)
   -. $\int \frac{x}{\sqrt{g} \cdot 2x}dg$ 이므로
   -. $\int \frac{1}{2 \sqrt{g}}dg = \int \frac{1}{2} \cdot g^{-\frac{1}{2}}dg = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot g^{\frac{1}{2}} = \sqrt{g}$
   
   ${(3)}$ $\sqrt(g)$ 에서(4번)
   -. $g =  x^{2} - 1$ 이므로
   -. 최종적으로 $\sqrt{x^{2} - 1} + C$
   
   
3. 부분적분
   
   1) 합성함수의 적분을 취할 때, 쉬운 적분과 어려운 적분을 구분하여 적분을 좀 더 수월하게 실시하는 테크닉
   
   2) 미분의 합성미분법칙을 이용하여 아래와 같은 방식으로 부분적분 테크닉을 유도한다

   곱미분법칙 : $\frac{d(f(x)g(x)}{dx} = f(x)\cdot \frac{g(x)}{dx} + \frac{f(x)}{dx}\cdot g(x)$
   이 떄, 양변을 적분하면	① $\int \frac{df(x)g(x)}{dx} dx = \int (f(x) \cdot \frac{g(x)}{dx} + \frac{f(x)}{dx}g(x)) dx$
   	② $f(x)g(x) = \int f(x)\frac{g(x)}{dx}dx + \int \frac{f(x)}{dx}g(x)dx$
   	③ $\int f(x) \frac{g(x)}{dx}dx = f(x)g(x) - \int \frac{f(x)}{dx}g(x)dx$

   3) 위에서 도출된 식을 해석하면 아래와 같다.
   ${(1)}$ 미분이 간단한 $f(x)$와, 적분이 간단한 $u(x) = \frac{g(x)}{dx}$가 존재한다고 하자.

   $\int$	$f(x)$	$\frac{g(x)}{dx}$	=	$f(x)$	$g(x)$	-$\int$	$\frac{f(x)}{dx}$	$g(x)$
   	원래함수	원래함수		원래함수	적분		미분	적분

   -. 미분이 간단한 $f(x)$는 미분을 수행하고
   -. 적분이 간단한 함수 $u(x) = \frac{g(x)}{dx}$는 그 함수가 이미 미분이 되었다고 가정한 후 역으로 적분을 수행하여 
   -. 원래 함수꼴인 $\int f(x)u(x)dx$를 복원하는 것을 목표로 한다.
   
   ${(2)}$ 도표법을 이용하면 부분적분을 더 쉽게 수행할 수 있다(예제 참조)
   -. 도표법은 미분이 간단한 $f(x)$와, 적분이 간단한 $u(x) = \frac{g(x)}{dx}$ 가 연속적으로 미분 / 적분형식을 취할 경우
   -. 회차를 거듭하면서 계속 미분 / 적분을 수행한 후 규칙에 따라 항들을 하나로 조립하여 최종적인 꼴로 나타내는 방법이다
   -. (t-1) 회차의 미분항과, t 회차의 적분항을 결합한 후 $(+) \rightarrow (-) \rightarrow (+) \rightarrow (-)...$를 반복하는 부호를 붙인다.
   
   4) 예제로 보는 부분적분
   
   ${(1)}$ $\int x^{2}e^{x}dx$를 적분하라
   -. 이 식은 미분이 비교적 쉬운 $x^{2}$와, 적분이 비교적 쉬운 $\frac{g(x)}{dx}=e^{x}dx$로 이루어져 있다.
   -. 도표법을 이용하면 아래와 같이 나타낼 수 있다.

   도표법을 이용한 연속적인 부분적분의 예시

   
   ${(2)}$ $\int e^{2x} sin(x)dx$를 적분하라
   -. 이 식은 적분이 비교적 쉬운 $e^{2x}$와, (그나마) 미분이 쉬운 sin(x)의 합성식이다
   -. 문제는, 도표법을 적용하려고 해도 sin(x)는 $sin \rightarrow -cos \rightarrow -sin \rightarrow cos...$가 반복되는 함수라는 점이다.
   -. 이는 도표법을 이용하여 아래와 같이 풀 수 있다. 

   미분부가 반복함수라서 상수항 소거가 불가능할 경우의 부분적분 예시

   -. 즉, 추가적인 미분을 해봤자 의미가 없기 때문에 마무리는 (더이상 푸는게 무의미하다고 여겨지는) 적분식으로 마무리 짓는다.