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문과생 네버랜드의 데이터 창고
4. 적률생성함수 본문
- 적률생성함수? 적률?
1) 적률생성함수는 확률변수의 '적률'을 생성해주는 함수
2) 적률이란 영어로 번역하면 모먼트(Moment)로, 확률 변수가 물리학의 모먼트같이 확률 변수의 특성을 각각의 차원별로 나타나게 해주는 통계량이다 - 적률생성함수의 정의
1) X를 etx 라는 기댓값이 존재하는 확률변수라고 하면, E{(e^{tx})} 로 표현할 수 있다.
2) 위와 같은 상황에서
(1) 이산형 확률분포라면, E(etx)=∑(etx)p[x]<∞
(2) 연속형 확률분포라면 E(etx)=∫∞−∞etxf(x)dx
3) 결국, E(etx)=M(t)로 정의하며, 이 함수를 적률생성함수라고 한다 - 적률생성함수는 왜 적률을 생성하는걸까?
1) 매크로린 급수로 etx를 전개하면
(1) etx=1+tet0⋅x+12!t2et0⋅x2+13!t3et0⋅x3+...
(2) 위는 곧 1+t⋅x+12!t2⋅x2+13!t3⋅x3+...
2) 양변에 기댓값을 씌우면
(1) E(etx)=1+t⋅E(x)+12!t2⋅E(x2)+13!t3⋅E(x3)+...
3) 이제, 위 식을 t에 대하여 1..2..n계 미분하고, t = 0을 대입하면
(1) ifn=1 : ∂E(etx)∂t=0+E(x)+12!2(t=0)⋅E(x2)+13!3(t=0)2⋅E(x3)+...=E(x)
(2) ifn=2:∂2E(etx)∂t2=0+0+12!2⋅E(x2)+13!6(t=0)⋅E(x3)+...=E(x2)
4) 정리하면, 각각을 매크로린 급수로 전개하고 t에 대하여 n번 미분후, t = 0을 대입하면 우리가 원하는 각각의 적률 E(x),E(x)2... 등이 나오며, 뒤에서 우리가 원하는 '평균' 과 '분산' 이라는 유명한 통계량을 생산하는데 활용된다. - 예제

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