문과생 네버랜드의 데이터 창고

4. 적률생성함수 본문

수리통계

4. 적률생성함수

K JI 2023. 5. 3. 15:20
  1. 적률생성함수? 적률?
    1) 적률생성함수는 확률변수의 '적률'생성해주는 함수
    2) 적률이란 영어로 번역하면 모먼트(Moment)로, 확률 변수가 물리학의 모먼트같이 확률 변수특성각각의 차원별로 나타나게 해주는 통계량이다

  2. 적률생성함수의 정의
    1) X를 etx 라는 기댓값이 존재하는 확률변수라고 하면, E{(e^{tx})} 로 표현할 수 있다.
    2) 위와 같은 상황에서
    (1) 이산형 확률분포라면, E(etx)=(etx)p[x]<
    (2) 연속형 확률분포라면 E(etx)=etxf(x)dx
    3) 결국, E(etx)=M(t)로 정의하며, 이 함수를 적률생성함수라고 한다

  3. 적률생성함수는 왜 적률을 생성하는걸까?
    1) 매크로린 급수etx전개하면

    (1) etx=1+tet0x+12!t2et0x2+13!t3et0x3+...


    (2) 위는 곧 1+tx+12!t2x2+13!t3x3+...

    2) 양변에 기댓값을 씌우면

    (1) E(etx)=1+tE(x)+12!t2E(x2)+13!t3E(x3)+...

    3) 이제, 위 식을 t에 대하여 1..2..n계 미분하고, t = 0을 대입하면

    (1) 
    ifn=1 : E(etx)t=0+E(x)+12!2(t=0)E(x2)+13!3(t=0)2E(x3)+...=E(x)


    (2) 
    ifn=2:2E(etx)t2=0+0+12!2E(x2)+13!6(t=0)E(x3)+...=E(x2)

    4) 정리하면, 각각을 매크로린 급수로 전개하고 t에 대하여 n번 미분후, t = 0을 대입하면 우리가 원하는 각각의 적률 E(x),E(x)2... 등이 나오며, 뒤에서 우리가 원하는 '평균' 과 '분산' 이라는 유명한 통계량을 생산하는데 활용된다.

  4. 예제

'수리통계' 카테고리의 다른 글

5. 확률변수의 부등식  (0) 2023.05.04
4-1 적률을 이용한 평균과 분산  (0) 2023.05.04
3. 기댓값  (0) 2023.05.03
2. 변수 변환  (0) 2023.05.02
1. 확률변수  (0) 2023.05.02