21. 벡터곱(외적)과 행렬식

1. 벡터곱이란?
   1) 3차원 이하의 공간에서 정의되는 벡터의 곱
   ${(1)}$ 기하학적으로 해석하면 이는 2차원에서는 평행사변형의 넓이를, 3차원에서는 육면체의 부피를 나타내는 값이다.(밑의 평행사변형과 벡터곱의 관계 참조)
   
   2) 내적과는 달리, $A X B = |A||B||sin\theta|$의 관계가 성립된다.
   ${(1)}$ 이 때, 외적의 방향은 벡터 A와 B가 생성하는 평면(Hyperplane)에 수직 방향이다.
   
   3) 벡터곱의 성질
   ${(1)}$ 내적과 벡터곱의 덧셈은 각각의 벡터의 Norm의 제곱의 합이다.
   -. $|A \cdot B|^{2} + |A \ X \ B|^{2} = |A|^{2}|B|^{2}cos^{2}\theta + |A|^{2}|B|^{2}sin^{2}\theta\\|A|^{2}|B|^{2}(cos^{2}\theta + sin^{2}\theta) = |A|^{2}|B|^{2}$
   -. 이 때, 삼각함수의 배각법칙에 따라 $cos^{2}\theta + sin^{2}\theta = 1로 변환하였다..$
    
   ${(2)}$ 벡터곱에선 교환법칙이 성립되지 않는다.
   -. 앞과 뒤의 순서가 바뀌면 부호가 반대로 바뀐다.
   -. 즉, A \ X \ B = -(B \ X \ A) 이다.
   
   ${(3)}$ 각 축(단위 벡터)간의 벡터곱은 결합시 부호가 모두 다르다.
   -. 즉, i,j,k라는 벡터 공간상의 축(Basis)가 존재할 때
   -. 각각의 축간의 외적 $(i \ X \ j)$, $(i \ X \ k)$, $(j \ X \ k)$ ... 의 부호는 모두 다르다
   -. 이는 후술하는 오른손 법칙을 이용하면 부호가 양수(위쪽을 가리킴) 혹은 음수(아래쪽을 가리킴)인지 알 수 있다.
   
   ${(4)}$ 평행사변형과 벡터곱의 관계

   -. $|A||B|sin\theta = A \ X \ B$ 일때 이 평행사변형은 $|A||B|sin\theta|$를 넓이로 갖는다. -. 즉, 평행사변형의 넓이 = 외적이다. -. 한편, 후술할 2차원의 외적 계산 공식에 따라 다음의 식 또한 평행사변형의 공식으로 인정할 수 있다. $A \ X \ B = |A||B|sin\theta| = a_{1}b_{2} - b_{2}a_{1}$

   
   ${(5)}$ 오른손 법칙

   오른손의 손가락을 외적이 작용하는 방향($i \rightarrow j$)으로 말아쥐었을 때, 엄지가 가리키는 방향이 바로 외적의 방향이다.

   
   4) 외적을 계산하는 방법
   
   ${(1)}$ 2차원의 경우
   -. $A = a_{1}i + a_{2}j$ 와 $B=b_{1}i + b_{2}j$의 외적을 수행할 때 $\\A \ X \ B = a_{1}b_{1} \cdot (i \ X \ i) + a_{1}b_{2} \cdot (i \ X \ j) + a_{2}b_{1} \cdot (j \ X \ i) + a_{2}b_{2} \cdot (j \ X \ j)$
   
   -. 이 때, $(i \ X \ i) = (j \ X \ j) = 0$이고, $(j \ X \ i) = -1, (i \ X \ j) = 1$이므로, 이 부호를 반영하면
   $$0 + a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} + 0 = a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}$$
   
   ${(3)}$ 3차원의 경우
   -. $A = a_{1}i + a_{2}j + a_{3}k$ 와 $B=b_{1}i + b_{2}j + b_{3}k$의 외적을 수행할 때 $\\A \ X \ B = a_{1}b_{1} \cdot (i \ X \ i) +a_{1}b_{2} \cdot (i \ X \ j) + a_{1}b_{3} \cdot (i \ X \ k) + ... +a_{3}b_{2} \cdot (k \ X \ i)+a_{3}b_{3} \cdot (k \ X \ k)$
   
   -. 이 때,$(i \ X \ i) = (j\ X \ j) = (k \ X \ k) = 0$이므로 이를 반영하면
   $$(a_{2}b_{3} - a_{3}b_{2})i + (a_{3}b_{1} - a_{1}b_{3})j + (a_{3}b_{2} - a_{2}b_{3})k$$
   
   
2. 행렬식(과 부피)
   1) 외적의 경우는 매우 쉽게 행렬식으로 그 개념을 확장할 수 있다.
   
   2) 2차원 벡터 $\begin{bmatrix} a_{1}\\a_{2}  \end{bmatrix}$ 와 $\begin{bmatrix} b_{1}\\b_{2}  \end{bmatrix}$ 가 형성하는 평행사변형의 넓이는 $a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}$으로 정의 가능하다(바로 위에 기술한 평행사변형의 넓이 참조)
   
   ${(1)}$ 이를 행렬 형식을 빌려 더 간단하게 표현이 가능한데
   -. 각각의 벡터를 기저(basis)로 갖는 행렬
   $\begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} &b_{2} \end{bmatrix}$ 의 행렬식 det $\begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} &b_{2} \end{bmatrix} = a_{1}b_{2} - b_{2}a_{1}$
   
   -. 이는 앞에서 구한 외적의 평행사변형 넓이를 구하는것과 동일하다.
   ${(2)}$ 위의 예시를 통해 우리는 행렬식이라는 것이 사실 각각의 기저를 변으로 갖는 평면의 넓이를 구하는것과 동치라는 사실을 알 수 있다.
   
   3) 2차원의 벡터 문제를 3차원으로 확장하여 생각해보자
   $\begin{bmatrix} a_{1}\\a_{2}\\a_{3}  \end{bmatrix}$ 와 $\begin{bmatrix} b_{1}\\b_{2}\\b_{3} \end{bmatrix}$ 그리고 $\begin{bmatrix} c_{1}\\c_{2}\\c_{3} \end{bmatrix}$가 형성하는 평행육면체(=즉 찌그러진 상자)의 부피는 이 세 벡터를 각각의 기저로 갖는 행렬의 행렬식에서 도출할 수 있다.(이를 스칼라 삼중적이라고 표현한다)
   
   ${(1)}$ 세 벡터를 기저로 갖는 3X3 행렬을 정의할 경우
   $\begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}  \end{bmatrix}$ 의 행렬식  det $\begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3}  \end{bmatrix}$는
   
   -. $A \cdot (B \ X C) = (A \ X \ B ) \cdot C = C\cdot (A \ X \ B)$ 로 표현할 수 있으며
   
   -. 위는 스칼라 형식으로 풀어 쓰면 $a_{1}(b_{2}c_{3} - b_{3}c_{2}) - a_{2}(b_{1}c_{3} - b_{3}c_{1}) + a_{3}(b_{1}c_{2} - c_{2}b_{1})$과 같다.
   
   4) 넓이는, 부피든 행렬식의 연산 결과가 0이란 의미는
   
   ${(1)}$ 평행사변형 / 평행육면체의 부피가 0이란 의미이며
   
   ${(2)}$ 이는 평행사변형의 넓이에선 평행사변형을 이루는 두 변이 동일함을(즉, A = B)의미한다.
   
   ${(3)}$ 평행육면체의 부피에선 A,B,C가 같은 평면에 위치하고 있어 그 부를 구할수 없음을 의미한다.